دنیای ریاضی به هم ریخت / علامت = لزوما به معنی «مساوی» نیست!

غزال زیاری: به نظر می‌رسد که ریاضی‌دانان نمی‌توانند در مورد تعریف علامت مساوی (=) که دو چیز را باهم برابر می‌داند، به توافق برسند. این اختلاف ممکن است برای برنامه‌های رایانه‌ای که در بررسی اثبات‌های ریاضی مورداستفاده قرار می‌گیرند، دردسرساز شود.

به گزارش اخبار ایران من، ده‌ها سال است که این دعوای آکادمیک برقرار است، اما شدت آن اخیراً اوج گرفته؛ دلیلش هم این است که برنامه‌های رایانه‌ای که برای اثبات رسمی یا بررسی مدارک مورداستفاده قرار می‌گیرند، باید دستورالعمل‌های واضح و مشخصی داشته باشند و تعاریف مبهم از مفاهیم ریاضی که قابل تفسیرند یا به رایانه‌های زمینه تکیه دارند، در این راستا کارایی نخواهند داشت.

کوین بازارد، ریاضی‌دان بریتانیایی امپریال کالج لندن، در هنگام همکاری با برنامه‌نویسان کامپیوتری، با این مشکل مواجه شد. همین باعث شد تا او به بازبینی تعریف «این برابر است با آن» بپردازد و مفاهیم منطقی متعددی را در مورد برابری به چالش بکشد.

بازارد دراین‌باره می‌نویسد: «۶ سال پیش، فکر می‌کردم مفهوم تساوی را در ریاضی می‌دانم و این را اصطلاح کاملاً تعریف‌شده‌ای می‌دانستم؛ با شروع تلاش‌هایم، ریاضیات سطوح بالا را در کامپیوتری که اثبات قضایا را انجام می‌داد، به کار گرفتم. در آن زمان کشف کردم که مفهوم برابری یا تساوی در ریاضی، به‌مراتب پیچیده‌تر از چیزی است که تا قبل از آن می‌دانستم.»

تاریخچه مفهوم تساوی در ریاضی

سال ۱۵۵۷ بود که رابرت رکورد، ریاضیدان ولزی، علامت تساوی را (=) با دو خط موازی که به زیبایی نشان‌دهنده برابری بین اجسام دو طرف علامت است، به دنیا معرفی کرد.

این مفهوم در ابتدا موردتوجه قرار نگرفت، اما باگذشت زمان، نماد شهودی آقای رکورد، جایگزین عبارت لاتین “aequalis” شد و بعدها علوم کامپیوتر را پایه‌گذاری کرد. ۴۰۰ سال پس از معرفی این علامت توسط رابرت رکورد و در سال ۱۹۵۷، برای اولین بار از علامت مساوی به‌عنوان بخشی از زبان برنامه‌نویسی کامپیوتری FORTRAN I استفاده شد.

مفهوم تساوی در دنیای ریاضیات، تاریخچه به‌مراتب طولانی‌تری دارد و دست‌کم به یونان باستان برمی‌گردد. بازارد دراین‌باره گفته که ریاضی‌دانان مدرن، در عمل از اصطلاح «به نسبت آزاد» برای مفهوم تساوی استفاده می‌کنند.

در استفاده روزمره و آشنا برای ما، علامت تساوی در حقیقت تنظیم‌کننده معادلاتی است که در ریاضیات ارزش یا معنی یکسانی دارند؛ یعنی چیزی که می‌تواند با چند تغییر و تبدیل منطقی ازیک‌طرف به‌طرف دیگر ثابت شود؛ مثلاً عدد صحیح ۲ توصیف‌کننده جمع یک‌جفت عدد (۱ + ۱) است.

اما تعریف دوم از مفهوم «تساوی» از اواخر قرن نوزدهم و با ظهور نظریه مجموعه‌ها در بین ریاضیدانان مورداستفاده قرار گرفت. در آن زمان نظریه مجموعه‌ها تکامل یافت و بدین ترتیب تعریف ریاضیدانان از مفهوم برابری نیز گسترش پیدا کرد.

ایزومورفیسم متعارف در علم ریاضی

مجموعه‌ای مثل {۱، ۲، ۳} را می‌توان «مساوی» (هم‌ارز) مجموعه‌ای مثل {a, b, c} در نظر گرفت؛ دلیلش وجود درکی ضمنی به نام ایزومورفیسم (یکریختی) متعارف است که شباهت‌های بین ساختار گروه‌ها را مقایسه می‌کند.

بازارد دراین‌باره گفت: «این مجموعه‌ها به روشی طبیعی باهم مطابقت دارند؛ ریاضی‌دانان متوجه شدند که اگر آن‌ها را هم برابر بدانیم، کار واقعاً راحت خواهد بود.»

حالا و با در نظر گرفتن ایزومورفیسم (یکریختی) متعارف به معنای برابری، ریاضیدانانی که سعی می‌کنند با استفاده از رایانه، اثبات‌هایی ازجمله مفاهیم بنیادی چند دهه‌ای را به شکلی رسمی ارائه دهند، با مشکلاتی جدی روبه‌رو می‌شوند.

بازارد با اشاره به تلاش‌های الکساندر گروتندیک، ریاضیدان قرن بیستم برای توصیف برابری در نظریه مجموعه‌ها گفت: «هیچ‌یک از سیستم‌های رایانه‌ای موجود، شیوه استفاده ریاضی‌دانی مثل گروتندیک را از نماد مساوی درک نمی‌کنند.»

بعضی از ریاضیدانان حالا بر این باورند که باید مفاهیم ریاضی را مجدداً تعریف کرد تا به‌طور رسمی ایزومورفیسم (یکریختی) متعارف با مفهوم «مساوی» یکی و برابر دانسته شود؛ اما بازارد مخالف این موضوع است و فکر می‌کند که ناهماهنگی بین ریاضی‌دانان و ماشین‌ها، باید ذهن ریاضی‌دانان را وادار کند که درباره منظور دقیق‌شان از مفاهیم پایه‌ای ریاضی مثل «تساوی» تجدیدنظر کنند، به‌نحوی‌که رایانه‌ها بتوانند آن‌ها را درک کنند.

او دراین‌باره می‌گوید: «وقتی کسی مجبور می‌شود تا منظور واقعی‌اش را بنویسد و نمی‌تواند پشت کلماتی که به شکلی نادرست تعریف‌شده‌اند پنهان شود، درمی‌یابد که باید کارهای اضافی انجام دهد یا حتی درباره نحوه ارائه ایده‌های خاصش تجدیدنظر کند.»

منبع: sciencealert

۵۴۳۲۱